我的话了。为了研究我们所居住的大宇宙的曲率是正是负，恰恰
就需要这样去计算遥远天体的数目。你大概也听说过有一些巨大
的星云，它们在空间中均匀地散布着，一直到离我们几十亿光年
之远的大星云，我们都还能看得见。在这样研究宇宙的曲率时，
它们是非常方便的天体。”
“这实在太出人意料了。”汤普金斯先生嘟哝着。
“是的，”教授同意他的说法，“但是还有更离奇的呢。如
果曲率是负的，我们就应该期望三维空间会朝着所有方向无穷尽
地向外扩展，就像二维的鞍形曲面那样。从另一方面说，如果曲
率是正的，那就意味着三维空间是有限的，并且是封闭的。”
“这是什么意思呢？”
“什么意思？”教授想了一会儿，“这个意思就是说，如果
你乘坐宇宙飞船从地球的北极竖直地朝上飞去，并且一直沿着直
线保持同样的方向不变，那么，最后你就会从相反的方向回到地
球，在地球的南极着陆。”
“但是，这是不可能的呀！”汤普金斯先生喊了起来。
“从前人们不是也认为环球旅行是不可能的吗？过去，人们
认为地球是平坦的，所以，如果一个探险家一直准确无误地朝西
走去，人们就相信他会离出发点越来越远；可是，后来却发现他
从东方回到了他的出发点。这不是一样的道理吗？！还有……”
“别再还有啦！”汤普金斯先生想阻止教授再说下去——他
的脑袋瓜已经在旋转了。
“我们的宇宙正在膨胀着，”教授不理睬他的反对，继续往
下说，“我对你说过的那些星系和星系团正在彼此退行，拉大距
离。星系离我们越远，它们飞散的速度越快。这都是大爆炸产生
的结果。对了，你听说过大爆炸吗？”
汤普金斯先生点点头，心里却在想慕德到底上哪里去了。
“好的，”他的同伴接着说，“宇宙就是这样开始的。最初，
就是从一个点发生的大爆炸产生了宇宙万物。在大爆炸以前，什
么东西都没有：没有空间，没有时间，绝对没有一切。大爆炸是
宇宙万物的开始。后来，各个星系就一直在彼此飞散。不过，由
于它们之间互相施加着万有引力，它们飞散的速度正在逐渐减慢。
这里有一个同我们生死攸关的问题，那就是：各个星系飞散的速
度究竟是快到能够逃脱万有引力的吸引呢（如果能够，宇宙就将
永无止境地膨胀下去），还是它们有朝一日会停止飞散，然后又
被万有引力拉回到一起。如果它们被拉回来，那就会发生一次大
挤压。”
“在发生大挤压以后，会发生什么事呢？”汤普金斯先生问
道，他的兴趣被这个问题重新唤醒了。
“那可能就是世界的未日——宇宙不复存在。不过，也可能
发生反复——一种大反复。也就是说，宇宙可能是脉动：先是膨
胀，接着是收缩，然后又是另一个膨胀和收缩的循环，并且就这
样一直反复循环下去，直到永远。”
“那么，宇宙到底属于哪一种？”汤普金斯先生问道，“它
是会永无止境地膨胀下去，还是有朝一日会变成大挤压呢？”
“我也不敢说。这取决于宇宙中物质的数量——究竟有多少
物质在产生那种使膨胀速度减慢的万有引力。科学家们好像已经
很巧妙地把它测算出来了。物质的平均密度接近于所谓的临界值，
即把两种不同场面分隔开的极限值。但是我们还很难说它到底有
多大，因为我们现在已经知道，宇宙中的绝大多数物质都不会发
光，它们不像束缚在恒星上的物质那样闪闪发光。所以，我们把
它们叫做暗物质。由于它们是暗的，要想探测到它们便困难得多
了。不过我们已经知道，它们至少占宇宙中全部物质的99％，而
且正是它们使得总密度接近于临界值。”
“大糟糕了，”汤普金斯先生评论说，“我非常想知道宇宙
要走的是哪条路。可是，密度的问题却弄得这么难以判定，真是
太倒霉了！”
“哦——你说得也对也不对。正是宇宙的密度（在所有可以
采取的可能值当中）偏偏如此接近于临界值这个事实，使人们猜
想到这其中必然有某种更深层的原因。许多人认为，在宇宙的初
期，有某种起作用的机制自动引导密度采取那个特殊值。换句话
说，密度如此接近于临界值绝非巧合，这不是由于某种偶然事件
而发生的，实际上，宇宙的密度就必须具有临界值。事实上，我
们以为现在我们已经知道那个机制是什么了，它被称为暴胀理论
……”
“又在说些莫名其妙的话啦，爸！”
慕德的到来使得两个人吃了一惊。她是从他们后面走出来的，
当时他们还在专心致志地谈话呢。“歇一会儿吧。”她说。
“我们马上就谈完了，”教授还是不肯停下，他又转向他的
朋友继续说，“在我们被她这样没有礼貌地打断之前，我正想告
诉你，我们所谈过的这些事情全都是彼此相关的。如果物质的数
量多到足以产生大挤压，那么也就足以产生正曲率，结果，宇宙
将具有有限的体积，成为一个封闭的宇宙。但是，如果物质的数
量不够多……”他停了下来，对汤普金斯先生作了个手势，表示
现在该他把这个故事接着讲下去了。
“呃，如果，如果像你说的，物质的数量不够多……呃……”
汤普金斯先生显得非常扭怩不安——这不光是因为他觉得自己在
老师面前表现得很愚蠢，并且是因为他想到慕德故意在一旁听着，
而使事情变得更糟。“是的，我是想说，如果物质的数量不够多，
不能达到临界密度，那么，宇宙就会永远膨胀下去，并且——并
且——呃，我只不过是猜想……猜想会出现负曲率……并且宇宙
会变得无限大……”
“太好了！”教授喊了起来，“多好的学生啊！”
“真的是非常好。”慕德同意说，“不过，我们全都知道，
宇宙的密度很可能就是临界值，所以最后会停止膨胀——但这只
是在遥远的将来才会发生的事啦。这一切，我以前都听说过了。
现在，你想不想去泡一泡？”
过了一会儿，汤普金斯先生才认识到这个问题是对他提的。
“我吗？你是说我要不要去游泳？”
“是的。你总不会认为我指的是他吧，是不是？”她笑了。
“呃，可是我还没有换衣服呢。我得回去拿我的游泳裤。”
“当然啦，我还以为你会一直穿着什么东西哩！”她带着调
皮的神情说道。
４ 教授那篇关于弯曲空间的演讲稿
女士们，先生们：
今天我所要讨论的问题，是弯曲空间及其与引力现象的关系。
你们当中任何一个人都能够很容易地想象出一条曲线或一个曲面，
对于这一点，我是一点也不怀疑的；但是，一提到三维的弯曲空
间，你们的脸就全拉长了，你们大概认为，这是某种极不寻常的、
几乎是超自然的东西。为什么人们这样普遍对弯曲空间怀有“恶
感”，难道这个概念真的比曲面的概念更难以理解吗？要是你们
稍稍多想一想，大概就有许多人会说，你们之所以觉得难以想象
出一个弯曲空间，是因为你们无法像观察一个球的曲面，或者像
观察马鞍那类二维的曲面那样，“从外面”对它进行观察。但是，
那些说这种话的人，只不过是暴露出他们自己不懂得曲率的严格
数学意义罢了，事实上，这个词的数学含义同它的一般用法是有
相当大的区别的。我们数学家说某个面是弯曲的，那是说，我们
在这个面上所画的几何图形的性质，不同于在平面上所画的同一
几何图形的性质，并且，我们用它们偏离欧几里得古典法则的程
度来衡量曲率的大小。如果你在一张平坦的纸上画一个三角形，
那么，正如你从初等几何学所得知的那样，这个三角形三个角的
总和等于两个直角。你可以把这张纸弯成圆柱形、圆锥形，或者
甚至弯成更复杂的形状，但是，画在这张纸上那个三角形的三个
角之和，必定永远保持等于两个直角。
这种面的几何性质不随上述形变而改变，因此，从“内在”
曲率的观点看来，形变后所得到的各种面（尽管在一般概念中是
弯曲的），事实上是和平面一样平坦的。
但是，你要是不把一张纸撕破，你就无法把它贴切地贴在球
面上或鞍形面上；不仅如此，如果你想在一个球面上画一个三角
形（即所谓球面三角形），那么，欧几里得几何学那些简单的定
理就不再成立了。事实上，我们可以用北半球上任何两条半截的
子午线（即经线）与两者之间那段赤道所构成的三角形作为例子，
这时，三角形底边的两个角都是直角，而顶角则可以具有任意大
的角度，这三个角之和显然大于两个直角。
同球面的情形相反，在鞍形面上，你会惊讶地发现，三角形
三个角之和永远小于两个直角。
可见，要确定一个面的曲率，必须研究这个面上的几何性质，
而从外面来观察常常会产生错误。仅仅依靠这种观察，你大概会
把圆柱面同环面划为一类，其实，前者是平面，后者却是无法矫
正的曲面。你一旦习惯于曲率的这种新的、严格的数学概念，你
就不难明白，物理学家们在讨论我们所居住的空间到底是不是弯
曲的时候，他们所指的是什么东西了。我们不需要跑到我们所居
住的三维空间的“外面”去“看看”它是否弯曲；而可以留在这
个空间中进行一些实验，去查明欧几里得几何学的普通定律是不
是还能成立。
但是，你们也许会觉得奇怪：为什么我们在一切场合下都应
该指望空间的几何性质与已经成为“常识”的欧几里得几何有所
不同呢？为了表明这种几何性质确实取决于各种物理条件，让我
们设想有一个巨大的圆形舞台，像唱片那样绕着自己的轴匀速地
转动着。再假设有一些小量尺，沿着从圆心到圆周上某一点的半
径，头尾相接地排成一条直线；另一些量尺则沿着圆周排成一个
圆。
在相对于那个安放舞台的房间静止不动的观察者Ａ看来，当
舞台在转动时，那些沿着舞台为圆周摆放的量尺是在其长度方向
上运动，因此，它们会发生尺缩（正像我在第一次演讲中说过的
那样）。这样一来，为了把圆周补全，所用的量尺就必须比舞台
静止不动时更多一些。而那些沿着半径摆放的量尺，它们的长度
方向正好同运动方向成直角，所以就不会发生尺缩，这样一来，
不管舞台是不是在转动，都要用同样多的量尺去摆满从舞台的中
心到圆周上某一点的距离。
可见，沿着圆周测出的距离Ｃ（用所需要的量尺数目表示）
必将大于一般情况下的2πr，这里r是所测出的半径。
我们知道，在观察者Ａ看来，这一切都是合情合理的，因为
沿着圆周摆放的量尺的运动产生了尺缩效应。但是，对于站在舞
台中心而且随着舞台转动的观察者Ｂ，情形又是什么样呢？她会
怎样看待这个问题呢？由于她所看到的两组量尺的数目和观察者
Ａ相同，她同样会下结论说，这里的周长与半径之比不符合欧几
里得几何学的定理。但是，假如舞台是处在一间没有窗子的封闭
房子里，她就看不出舞台是在转动。那么，她会用什么原因来解
释这种反常的几何性质呢？
观察者Ｂ可能并不知道舞台在转动，但是却会意识到在她周
围正在发生某种奇怪的事情。她会注意到，放在舞台上不同地方
的物体并不保持静止不动，它们全都从中心向外围进行加速运动，
其加速度取决于它们的位置和中心的距离。换句话说，它们看起
来都受到一种力（离心力）的支配。这是一种很奇怪的力，不管
物体处在什么特定的位置，质量有多大，这个力总是以完全相同
的加速度使它们向外围进行加速运动。换句话说，这种“力”似
乎能够自动调整自己的强度去配合物体的质量，因而总是能产生
物体所处位置特有的加速度。因此，观察者Ｂ会作出结论说，在
这种“力”与她发现的非欧几里得几何性质之间，必然存在着某
种关系。
不仅如此，我们还可以考虑一束光线前进时的路径。对于静
止的观察者Ａ来说，光线总是沿着直线传播的。但是，如果有一
束光线贴着旋转舞台的表面穿过舞台，又会怎么样呢？尽管在观
察者Ａ看来、这束光线一直是沿着直线行进的，但是，它在旋转
舞台的表面上划出的路径却并不是直线，这是因为这束光需要一
定的时间才能穿过舞台。而在这段时间内，舞台已经转过一定的
角度（这就像你用快刀在旋转的唱片上划一条直线时，唱片上的
划痕会是一条曲线而不是直线那样）。因此，站在旋转舞台中心
的观察者Ｂ会发现，那束光线在从舞台的一侧穿到另一侧时，并
不是沿着直线、而是沿着曲线行进。她会像前面提到的周长与半
径之比的场合那样，把这种现象归因于在她周围起作用的特殊物
理条件所产生的那个特殊的“力”。
这种力不仅影响到几何性质（包括光线行进的路径），并且
还影响着时间的进程。把一个钟表放在旋转舞台的外围，就可以
把这种情况演示出来。观察者Ｂ会发现，这个钟表比放在舞台中
心的钟表走得慢。从观察者Ａ的观点看，这个现象是最容易理解
不过了，因为他注意到，那个放在外围的钟表在随着舞台的转动
而运动，所以比起放在舞台中心。位置保持不变的钟表来，它的
时间便延长了（钟慢效应）。而观察者Ｂ由于没有意识到舞台的
转动，就必定把那个钟表走得慢归因于前面所说的那个“力”的
存在。这样一来，我们便可以知道，不论是几何性质还是时间进
程，都能够成为物理环境的函数。
现在我们再来讨论一种不同的物理场合——这是我们在地面
附近发现的情形：一切物体都被地心引力吸向地面。这同旋转舞
台上的一切物体都被甩向外围的情形有点相似。如果我们注意到
下落的物体所得到的加速度只与其位置有关而与其质量无关时，
这种相似性便更明显了。从下面要介绍的事例，我们甚至可以更
加清楚地看到引力与加速运动之间的这种对应关系。
假设有一艘专门进行星际航行的宇宙飞船，它自由自在地在
空间中某个地方漂浮着，不管离哪一颗恒星都非常远，因而在飞
船中不存在任何引力。结果，在这样一艘飞船里的一切物体，包
括乘坐它旅行的实验者在内，就都没有任何重力，他们会像凡尔
纳著名的幻想小说中的阿尔丹及其旅伴在飞往月球的旅途中那样，
自由自在地在空气中漂浮着。
现在，发动机开动了，我们的飞船开始运动，并且逐渐增大
速度。这时在飞船内部会发生什么情况呢？很容易看出，只要飞
船处在加速状态，飞船内部的一切物体就会显示出朝着飞船底部
运动的倾向，或者是说，飞船底部将朝着这些物体运动——这两
种说法是一码事。举个例子吧，要是我们的实验者手中拿着一个
苹果，然后撒手把它放开，那么，这个苹果必将以固定不变的速
度——即飞船在放开苹果那一瞬间的运动速度——相对于周围的
恒星继续运动。但是，飞船本身却在加大速度，结果，船舱的底
部由于在整个时间里运动得越来越快，它最后必将赶上那个苹果，
并且撞上它。从这个瞬时起，这个苹果就会永远同底部保持接触
状态，并且靠稳定的加速度而压在底部上。